Детство Евгения прошло на окраине, в посёлке им.Володарского. Его отец был на двадцать лет старше матери. Оба они были рабочими: Александр Михайлович — металлург, Мария Ивановна — фрезеровщица. Женя рано, шести лет, остался без отца, мама второй раз вышла замуж, но и отчим умер, когда мальчику было семнадцать. До войны Женя успел окончить семилетку и в сорок первом пошёл работать электромонтёром. Потом год проучился в дизелестроительном техникуме, но после смерти отчима пришлось идти зарабатывать. Четыре года он слесарил на заводе "Красная Этна", занимался в самодеятельности, играл джаз.
Евгений Александрович был очень музыкален, виртуозно играл на разных инструментах: на гитаре, на рояле и даже на вилках. Выступал в разных местах. Однажды в 1946 году в кинотеатр, где в составе джаз-оркестра Евгений играл ударником, пришёл директор Горьковского театрального училища Виталий Лебский. Директор от одного актёра узнал, что там необыкновенный ударник, и решил посмотреть. Парень действительно был странный. Он играл так виртуозно и самозабвенно, вытворял с барабанными палочками нечто невообразимое, заслоняя собой целый оркестр и приводя публику в восторг. От него нельзя было оторваться.
После того как оркестранты отыграли очередную композицию, Виталий Лебский подошёл к музыканту и спросил его: "Молодой человек, не хотите ли вы стать драматическим актёром?" На что Евстигнеев простодушно ответил: "Я не знаю". — "Тогда вот вам мои координаты, и я жду вас у себя", — продолжил Лебский и вручил парню бумажку с адресом училища.
В 1946 году Евгений был зачислен на первый курс Горьковского театрального училища. Окончив театральное училище в 1951 году, Евстигнеев был распределён во Владимирский областной драматический театр имени А. Луначарского.
В 1954 году поступил в Школу-студию МХАТ, причём сразу на второй курс.
В середине 1955 года студенты Школы-студии МХАТ создали "Студию молодых актёров", которая через год стала базой для нового столичного театра — "Современник".
В 1956 году окончил Школу-студию МХАТ (курс П. В. Массальского).
Первую свою значительную роль в "Современнике" Евстигнеев сыграл в 1960 году в спектакле "Голый король" по пьесе Евгения Шварца. После этого спектакля исполнитель главной роли — короля — Евстигнеев проснулся знаменитым.
Настоящая всесоюзная слава пришла к Евстигнееву в 1964 году — после роли Дынина в фильме режиссёра Элема Климова "Добро пожаловать, или Посторонним вход воспрещен".
Последней ролью Евстигнеева в "Современнике" был Дорн в "Чайке" А. П. Чехова в 1970 году.
В 1971 году вслед за Олегом Ефремовым, перешёл в труппу МХАТа. Первой его ролью на новой сцене стал Володя в спектакле "Валентин и Валентина" по пьесе Михаила Рощина. В декабре 1980 года у Евстигнеева случился инфаркт. На рубеже 90-х годов он сыграл в Театре Антона Чехова Фирса в "Вишнёвом саде", в 1991 году — в АРТели АРТИСТОВ Сергея Юрского — Глова в спектакле "Игроки-XXI". Последней ролью Евстигнеева в кино был царь Иван Грозный в фильме В. Ускова и В. Краснопольского "Ермак".
В 1988 году году сыграл профессора Преображенского в фильме Собачье сердце.
Е. А. Евстигнеев умер перед операцией на сердце в Лондоне 4 марта 1992 года, (по другим источникам - 5 марта).
Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище (участок № 10).
Евстигнеев — актёр широкого диапазона ролей, но наиболее удачными были характерные роли. Неброская внешность — сутулая фигура, голова с большой проплешиной, длинным носом "картошкой" и оттопыренными ушами — компенсировалась большим артистизмом, цепкой наблюдательностью и большим обаянием. Евстигнеев достиг такого мастерства в профессии, что практически моментально угадывал и формировал персонажа, создавая импровизациями то, что было нужно режиссёру. Евстигнеев вписывался в любой актёрский ансамбль, был абсолютно убедителен и органичен в любой роли, даже в эпизодах. Очень быстро он заработал себе высокую профессиональную репутацию, участие его в фильме и спектакле гарантировало сенсационный успех.
Евстигнеев был универсален. Положительным героям он даровал скромность, душевную открытость и теплоту, обаяние, интеллигентность; отрицательным — чёрствость, мстительность, умственную ограниченность, отталкивающее поведение.
Вторая жена Лилия Евстигнеева (Журкина) (1937—1986) — актриса театра "Современник", МХАТ.
Дочь — Мария Селянская (p. 1968), актриса театра "Современник".
Третья жена И. К. Цывина — актриса театра и кино.
Признание и награды
Заслуженный артист РСФСР (1968)
Народный артист РСФСР (1974)
Государственная премия СССР (1974) — за исполнение роли Петра Хромова в спектакле "Сталева") Г. К. Бокарева
Орден Трудового Красного Знамени (1982) — за заслуги в производстве советских телевизионных фильмов и активное участие в создании фильма "Семнадцать мгновений весны")
Народный артист СССР (1983)
Государственная премия РСФСР имени братьев Васильевых (1990) — за исполнение роли Филиппа Филипповича Преображенского в телевизионном фильме "Собачье сердце" (1988)
Премия "Хрустальная Турандот" (1992).
Нижегородское театральное училище с 06.10.2003 носит имя Е. А. Евстигнеева
В Нижнем Новгороде возле Нижегородского академического театра драмы установлена скульптура Е. А. Евстигнеева
Нижегородский театр "Комедия": 10.10.2011 был открыт IX традиционный фестиваль-конкурс имени Евгения Евстигнеева
Во Владимирской области учреждена театральная премия имени Е. А. Евстигнеева
Творчество
Роли в театре
Владимирский областной драматический театр им. А. В. Луначарского
1951 — "Разлом" Б. А. Лавренёва — третий матрос
1951 — "Поют жаворонки" К. Крапивы — Володя шофёр
1951 — "Снежок" В. А. Любимовой — Джон
1952 — "Иван да Марья" В. А. Гольдфельда — Княжич
1952 — "Ревизор" Н. В. Гоголя — Почтмейстер Шпекин
1952 — "Любовь Яровая" К. А. Тренева — Швандя, Котов
1953 — "Варвары" М. Горького — Притыкин
1953 — "Ночь ошибок" О. Голдсмита — Тони Лумкинс
1953 — "Ромео и Джульетта" В. Шекспира — Меркуцио
1953 — "Оптимистическая трагедия" В. Вишневского — Главарь анархистов
1953 — "Алёша Пешков" И. А. Груздева и О. Д. Форш — дядя Яков
1953 — "Дуэнья" Р. Б. Шеридана — Мендоза
1954 — "Порт-Артур" И. Ф. Попова и А. Н. Степанова — Иван Терешкин
1955 — "Соперники" Р. Б. Шеридана — Энтони Эпсолют